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三種,接下來把它們組合在一起就行了。

我們定義一個叫“組合”的函式f,它的功能是把n個函式組合在一起:

f:Nn—N

具體的,如果每一個被組合的函式g都可以接受同一組引數x1,...,xm,那麼組合n個g函式的操作可以被表示為:

f·[g1,...,gn]:Nm—N

展開為:

f·[g1,...,gn]x1,...,xm=fg1x1,...,xm,...,gnx1,...,xm

舉個栗子:

我們構造一個函式one,onex=1,即:不論給它什麼輸入,它都輸出為1,那麼:

onex=succ0=succzerox

即:succ·[zero]=one

驗證一下:

succ·[zero]x=succzerox=succ0=1

succ和zero兩個基本函式組成了我們要的one,完美。

如果栗子再複雜一點,我們想要一個加法器add,addx,y=x+y,怎麼用那三種基本函式組合?

也很簡單,從具體輸入入手:

add3,2=succadd3,1=succsuccadd3,0=succsucc3

似乎只需要組合多個後繼函式就可以了呢。

當然,這裡面有一個毛病,在於我們在沒有定義好add的前提下,先入為主地認為add3,0=3.

所以我們不能認為自己就這麼簡單地構造了add,只能退而求其次地得到以下關係:

addx,y+1=succaddx,y,這個式子是十分嚴謹的。

更具體地,要想算出addx,y+1,就要知道addx,0=x,我們稱addx,0=x為基準條件;addx,y+1=succaddx,y為遞迴條件。

看起來就差臨門一腳了,只要我們能用三種基本函式構造出addx,0=x,就能得到addx,y+1,也就能構造出我們想要的加法器。

也很顯然,addx,0=x=proj11

於是,我們的加法器有了。

這種看起來很像左腳踩右腳登天的構造方式叫做“原始遞迴”,它的定義是這樣的:

基準函式f:Nn—N

遞迴函

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