第245章 函式之妙－－lnxx (第1/3頁)
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《函式之妙——lnxx》
夫函式者，變化之理，天地之數也。前已述函式lnxx之特性，今當續而論之，以啟眾人之智。
且看此函式，形如lnx除以x。先思lnx之性，對數之象，乃示指數之逆。x者，變數也，代表世間萬物之多寡。二者相除，其義深遠。
當論其定義域。lnx之定義域為x大於零，故lnxx之定義域亦為x大於零。此乃其存在之域，不可不察。
觀其單調性。欲求其單調性，可求其導數。令f（x）=lnxx，則f（x）=（1-lnx）x2。當f（x）＞0時，函式遞增；當f（x）＜0時，函式遞減。
解f（x）=（1-lnx）x2＞0，即1-lnx＞0，lnx＜1，解得0＜x＜e。故當0＜x＜e時，函式f（x）=lnxx單調遞增；當x＞e時，函式單調遞減。
由此可知，e乃此函式單調性之關鍵。當x趨近於零時，lnx趨近於負無窮，而x趨近於零正，故lnxx趨近於負無窮。當x趨近於正無窮時，lnx增長速度遠慢於x，故lnxx趨近於零。
再論其極值。由單調性可知，當x=e時，函式取得極大值。f（e）=lnee=1e。此極大值乃函式之高峰，具有重要意義。
夫函式之影象，可助吾輩直觀理解其性。lnxx之影象，先增後減，呈單峰之狀。在x=e處達到最高點，如山峰屹立。當x趨近於零時，影象趨近於負無窮；當x趨近於正無窮時，影象趨近於零。
其影象之美，猶如山水畫卷。山峰代表極大值，兩側曲線漸趨平緩，寓意著函式之變化趨勢。觀此影象，可悟函式之奧秘，領略數學之美。
又思此函式之應用。在實際問題中，lnxx可用於最佳化問題。例如，在某些經濟模型中，可透過求此函式的最值來確定最優策略。
設一商家欲求利潤最大化，其利潤函式與lnxx相關。透過分析此函式的性質，可找到利潤最大時的條件，從而制定最佳經營策略。
此外，lnxx在物理學、工程學等領域也有廣泛應用。如在某些電路分析中，此函式可幫助求解特定問題。
再論其與其他函式之關係。lnxx可與指數函式、三角函式等相互聯絡。透過比較不同函式的性質，可深入理解數學之體系。
例如，與指數函式y=e^x相比，lnxx增長速度緩慢。當x趨近於正無窮時，e^x增長速度極快，而ln
