第248章 函式之妙－－xe＾x (第4/6頁)
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“談函式之級數展開。對函式f（x）=xe^x進行泰勒級數展開。先求各階導數，f（x）=（1-x）e^x，f（x）=（x-2）e^x，f（x）=（3-x）e^x，等等。在x=a處展開，泰勒級數公式為f（x）=f（a）+f（a）（x-a）1!+f（a）（x-a）22!+f（a）（x-a）33!+。。。。選取合適之a值，如a=0，計算各階導數在x=0處的值，可得f（0）=0，f（0）=1，f（0）=-1，f（0）=2，等等。從而函式在x=0處之泰勒級數展開為xe^x=x-x22!+x33!-x?4!+。。。。”
學子乙又問：“先生，泰勒級數展開之意義何在？”
先生曰：“泰勒級數展開可將複雜函式用多項式近似表示，於計算和分析函式值時非常有用。同時，透過泰勒級數展開，可更好理解函式在某一點附近之性質和變化規律。在數值計算中，亦可利用泰勒級數展開提高計算精度。”
“考慮函式f（x）=xe^x在區間[0，2π]上之傅立葉級數展開。傅立葉級數公式為f（x）=a?2+Σn=1to∞，其中a?=1π∫[0，2π]f（x）dx，a?=1π∫[0，2π]f（x）cos（nx）dx，b?=1π∫[0，2π]f（x）sin（nx）dx。計算這些積分較為複雜，但透過逐步計算可得到函式之傅立葉級數展開式。”
學子丙曰：“先生，傅立葉級數展開與泰勒級數展開有何不同？”
先生曰：“泰勒級數展開是在某一點附近對函式進行近似，而傅立葉級數展開是在一個區間上對函式進行近似。傅立葉級數展開主要用於週期函式之分析，將函式表示為正弦和餘弦函式之線性組合。於不同應用場景中，可根據需要選擇合適級數展開方式。”
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“論函式之數值計算方法。對於方程f（x）=xe^x-c=0（c為常數），可使用牛頓迭代法求解其零點。牛頓迭代公式為x???=x?-f（x?）f（x?）。首先選取一個初始值x?，然後根據迭代公式不斷更新x之值，直至滿足一定精度要求。”
學子丁問道：“先生，牛頓迭代法之收斂性如何保證？”
先生曰：“牛頓迭代法之收斂性取決於函式性質和初始值選擇。一般而言，若函式在求解區間上滿足一定條件，如單調性、凸性等，且初始值選擇合理，牛頓迭代法可較快收斂到函式之零點。
