第249章 函式之妙－－xe＾x續 (第1/6頁)
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《249函式之妙——xe^x（續）》
一日，眾學子再度齊聚，戴浩文先生神色肅然，緩緩開口道：“前番吾等探討函式f（x）=xe^x，今日吾將深入剖析，以啟汝等之智。”
學子們皆正襟危坐，洗耳恭聽。
“且論此函式之對稱性。細察之，雖此函式無明顯軸對稱或中心對稱，然可透過變換探尋其潛在對稱之性。設t（x）=-xe^（-x）=xe^x，與原函式f（x）=xe^x相較，二者看似無直接對稱關係。然若深入分析其導數，t（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，f（x）=（1-x）e^x，雖導數不同，但亦可從中窺探其變化之規律差異，為進一步理解函式性質提供新視角。”
學子甲問道：“先生，此對稱性之探尋有何深意？”
戴浩文先生答曰：“對稱性之研究可助吾等更全面地認知函式之特徵。雖此函式無傳統之對稱，然透過此類分析，可拓展思維，洞察函式間之微妙聯絡。於實際問題中，或可藉此發現不同情境下之潛在規律，為解決複雜問題提供新思路。”
“再觀函式之複合。設u（x）=（xe^x）^2，此乃函式f（x）=xe^x之自複合。求其導數，u（x）=2*（xe^x）（1-x）e^x=（2x（1-x））e^（2x）。分析此導數，可判u（x）之單調性與極值。當2x*（1-x）＞0，即0＜x＜1時，u（x）＞0，u（x）單調遞增；當x＜0或x＞1時，u（x）＜0，u（x）單調遞減。故函式u（x）在（0，1）單調遞增，在（-∞，0）與（1，+∞）單調遞減。且當x=0或x=1時，取得極值。”
學子乙疑惑道：“先生，此複合函式有何用處？”
先生曰：“複合函式之研究可豐富對原函式之理解。於實際問題中，若函式關係較為複雜，常涉及複合之情形。透過分析複合函式之性質，可更好地把握整體變化規律，為解決實際問題提供有力工具。”
“又設v（x）=e^（xe^x），此為以原函式為指數之複合函式。求其導數，v（x）=e^（xe^x）*（1-x）e^x。分析其導數之正負，可判v（x）之單調性。當1-x＞0，即x＜1時，v（x）＞0，v（x）單調遞增；當x＞1時，v（x）＜0，v（x）單調遞減。故函式v（x）在（-∞，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減。”
學子丙問道：“先生，此複合函式與前
