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“我們已經瞭解了一些新定義運算的示例，現在讓我們來探討一下新定義運算的性質。首先，新定義運算是否滿足交換律呢？”先生問道。
學子們陷入了沉思。過了一會兒，學子丁回答道：“對於剛才的兩個新定義運算，和不一定相等，所以新定義運算不一定滿足交換律。”
先生讚許地看著學子丁，說道：“非常正確。那麼新定義運算是否滿足結合律呢？”
學子們又開始思考起來。學子戊回答道：“對於某些新定義運算，可能滿足結合律，但對於一般的新定義運算，不一定滿足結合律。我們需要具體的例子來判斷。”
先生點了點頭，說道：“很好。新定義運算的性質不像傳統運算那樣具有普遍性，我們需要透過具體的運算規則來分析其性質。這也正是新定義運算的魅力所在，它可以更加靈活地描述函式之間的關係。”
四、代號的引入
在對新定義運算有了一定的瞭解之後，先生又引入了另一個概念——代號。
“為了更方便地研究函式和新定義運算，我們可以給函式和運算賦予特定的代號。這樣可以使我們的研究更加簡潔和高效。”先生說道。
學子們好奇地看著先生，等待著他進一步的解釋。
“例如，我們可以給函式賦予代號，給新定義運算賦予代號。這樣，當我們提到時，就知道是指函式和函式在新定義運算下的結果。”先生邊說邊在黑板上寫下這些代號。
學子己問道：“先生，為什麼要使用代號呢？直接用函式和運算的表示式不是更直觀嗎？”
先生回答道：“在一些複雜的問題中，使用代號可以使我們的表示式更加簡潔，便於分析和計算。同時，代號也可以幫助我們更好地組織和管理我們的研究成果。”
五、代號的應用
為了讓學子們更好地理解代號的應用，先生給出了一些具體的例子。
“假設我們有三個函式，，，我們已經給它們賦予了代號，，。現在，我們來計算的值，其中和是兩種不同的新定義運算。”先生說道。
學子們紛紛拿起筆，開始計算。
首先，計算的值。根據前面的定義，。
然後，計算的值。假設定義為。
將和代入運算中，可得。
將的值代入上式，進行化簡計算。
學子們經過一番努力，終於得出了的結果。
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