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這是標題，中文含義是“拉普拉斯特徵函式的節點集：豪斯多夫測度的多項式上限估計”。
“Abstract。LetMbeapactC^∞-smoothRiemannianmanifoldofdimensionn，n≥3，andletφλ:?Mφλ+λφλ=0denotetheLaplaceeigenfunctiononMcorrespondingtotheeigenvalueλ。Weshowthat……
周明一到圖書館，就開啟電腦，寫好標題後，就開始寫摘要。
這次的論文，證明了Hausdorff測度對緊湊光滑流形定義的拉普拉斯特徵函式的零點集的估計。
這篇論文和上一篇論文，能夠推動拉普拉斯的譜以及節點集上的使用。
譜圖理論是圖論和組合數學的一個重要領域，它的主要研究有鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣和無符號拉普拉斯矩陣三大矩陣。
我們又稱矩陣特徵值的集合為圖的譜，相應譜的研究就是：鄰接譜，拉普拉斯譜，無符號拉普拉斯譜。
周明投稿《數學年鑑》的兩篇數學論文都與拉普拉斯譜有關，他之所以選擇這兩篇論文投稿，其中一個主要原因就是拉普拉斯矩陣是譜圖理論中的核心與基本概念，在機器學習與深度學習中有重要的應用。
而機器學習和深度學習，則是人工智慧中至關重要的。
包括但不限於流形學習資料降維演算法中的拉普拉斯特徵對映、區域性保持投影，無監督學習中的譜聚類演算法，半監督學習中基於圖的演算法，以及圖神經網路等。
還有在影象處理、計算機圖形學等諸多問題。
理解拉普拉斯矩陣的定義與性質是掌握這些演算法的基礎，周明對這一方面的研究，也有利於他以後研究人工智慧。
可以說，數學是絕大部分理工學科的基礎，就是生物的某些專業，對數學的要求也是比較高的。
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