第248章 函式之妙－－xe＾x (第1/6頁)
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《函式之妙——xe^x》
一日，眾學子齊聚，戴浩文先生輕捋鬍鬚，微笑道：“今日，吾與汝等探討新之函式，f（x）=xe^x。”
學子們皆面露好奇之色，靜候先生講解。
“先觀此函式之定義域。因指數函式e^x恒大於零，故x可取任意實數，此函式之定義域為全體實數。”
“再論其漸近線。當x趨向於正無窮時，e^x增長速度遠快於x，故此時f（x）=xe^x趨近於零。此表明函式有水平漸近線y=0。至於垂直漸近線，因函式在整個定義域內皆有定義，故不存在垂直漸近線。”
學子甲問道：“先生，此漸近線之意義何在？”
戴浩文先生答曰：“漸近線可助吾等理解函式在無窮遠處及特殊點附近之行為。水平漸近線顯示函式在無窮大時之趨勢，為吾等提供對其長遠變化之直觀認識。於實際問題中，可藉此判斷函式之增長或衰減是否有極限。”
“且看其導數。令g（x）=f（x）之導數，則g（x）=（e^x-x*e^x）（e^x）^2=（1-x）e^x。”
“分析導數之正負，可判函式之單調性。當1-x＞0，即x＜1時，g（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，g（x）＜0，f（x）單調遞減。故函式在（-∞，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減。”
學子乙疑惑道：“先生，此單調性有何用處？”
先生曰：“知其單調性，可助吾等了解函式值之變化規律。於實際問題中，若函式代表某種變化過程，如經濟增長、物理現象等，單調性可揭示該過程是遞增還是遞減，進而為決策提供依據。”
“又因函式在x=1處由增變減，故x=1為函式之極大值點。將x=1代入函式f（x），可得極大值為f（1）=1e。”
學子丙問道：“先生，此極大值意義何在？”
先生答曰：“極大值可視為函式在一定範圍內所能達到之最大值。於實際問題中，若函式代表某種效益或效能，極大值點則對應最佳狀態。如在工程設計中，可透過求函式極大值來確定最優引數，以實現最佳效果。”
“今論函式之影象變換。設h（x）=xe^x+a（a為常數），此乃對函式f（x）進行垂直平移。當a＞0時，函式影象整體向上平移a個單位；當a＜0時，函式影象整體向下平移|a|個單位。其導數與f（x）相同，故單調性與極大值皆不變，僅
